حساب المثلثات فرع من الرياضيات يعنى بالعلاقات بين أضلاع وزوايا المثلثات، ويقدم طرقاً لقياس هذه الزوايا والأضلاع. ولحساب المثلثات تطبيقات في العلوم البحتة، مثل الفيزياء والفلك، وفي مجالات تطبيقية، مثل المساحة والملاحة.

وهناك نوعان من حساب المثلثات هما حساب المثلثات المستوي و حساب المثلثات الكروي. ويُستخدم حساب المثلثات المستوي لتحديد أضلاع وزوايا مجهولة لمثلثات تقع على المستوى، بينما يستخدم حساب المثلثات الكروي لإيجاد أضلاع وزوايا مجهولة لمثلثات تقع على سطح كروي.

وكلا النوعين من حساب المثلثات مؤسس على العلاقات الموجودة بين مكونات المثلث الستة ـ الأضلاع الثلاثة والزوايا الثلاث. وبفضل هذه العلاقات، يكاد يكفينا في كل الأحوال معرفة قياس أي ثلاث من هذه المكونات لتحديد قياس المكونات الثلاثة المتبقية، بشرط أن يكون أحد المكونات المعلومة ضلعًا من أضلاع المثلث. ومن الضروري معرفة طول ضلع واحد على الأقل، إذ من الممكن أن تختلف الأضلاع المتناظرة في مثلثين بالرغم من تساوي الزوايا المتناظرة كافة في هذين المثلثين.

وحساب المثلثات مؤسس على نوع من الهندسة يدعى الهندسة الإقليدية. وهي هندسة انبثقت من مجموعة من الفرضيات قام بتحديدها في مطلع القرن الثالث قبل الميلاد عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس انظر: الهندسة. أما حساب المثلثات الكروي، فقد تم وصفه لأول مرة عام 150م في كتاب لبطليموس الإسكندري يدعى المجسطي. ولقد تطور حساب المثلثات المستوي في القرن الخامس عشر الميلادي على يد الرياضي الألماني يوهان ميلر الذي كان يدعى أيضاً ريجيومونتانوس.


حساب المثلثات المستوي
كي نفهم حساب المثلثات، يجب علينا أولاً دراسة خواص المثلثات المتشابهة. نقول عن مثلثين إنهما متشابهان إذا تطابقت زواياهما المتناظرة، فمثلاً المثلثان أ ب ج، و د هـ و أدناه متشابهان إذا كانت الزاوية أ = الزاوية د و الزاوية ب = الزاوية هـ والزاوية ج = الزاوية و. أما الأضلاع المتناظرة في مثلثين متشابهين فليست بالضرورة متساوية، ولكنها تكون متناسبة. لذا إذا كان المثلثان أ ب ج، و د هـ و متشابهين فإن النسبة أ ب : أ ج تساوي النسبة د هـ : د و لنفترض أن أ ب وحدات، أ ج= 5 وحدات، و د هـ = 9 وحدات، طول د و في هذه الحالة = 15 وحدة لأن

9/15 = 3/5


المثلث قائم الزاوية. يستخلص حساب المثلثات إلى حد كبير من المثلثات قائمة الزاوية المتشابهة. والمثلث قائم الزاوية مثلث تكون إحدى زواياه 90°. وبما أن مجموع زوايا المثلث 180° ، فإن الزاويتين الأخريين في المثلث قائم الزاوية تكونان حادتين، ومجموعهما يساوي 90°.

فإذا علمنا قيمة إحدى الزوايتين الحادتين يمكننا معرفة الأخرى بطرح الزاوية المعلومة من 90°. وبالإضافة إلى ذلك، إذا كانت إحدى الزاويتين الحادتين لمثلث قائم الزاوية تساوي إحدى الزوايتين الحادتين لمثلث آخر قائم الزاوية، فإن هذين المثلثين يكونان متشابهين. ففي المثلثين قائمي الزاوية (أ ب ج)، و(د هـ و) أدناه، على سبيل المثال، نجد أن كلاً من الزاوية (ج) والزاوية (و) قائمة، والزاوية (أ) تساوي الزاوية (د) وعليه يكون المثلثان متشابهين، ومن ثم تتناسب أضلاعهما. إذن

ل/ك = س/ص و م/ك = ع/ص و ل/م = س/ع




إن النسب التي تتكون منها هذه التناسبات تساوي نسب الأضلاع المناظرة في أي مثلث قائم الزاوية تساوي إحدى زاويتيه الحادتين الزاوية أ. وقد أعطيت كل واحدة من النسب الست الممكن تشكيلها في المثلث قائم الزاوية اسماً: ففي الشكل أعلاه، مثلاً تسمى، النسبة جيب الزاوية أ وتكتب جا أ. والنسبة تسمى جيب تمام الزاوية أ وتكتب جتا أ، والنسبة تُسمى ظل الزاوية أ وتكتب ظـا أ. وقد قام الرياضيون بتجميع قيم كل من هذه النسب لجميع الزوايا الممكنة لمثلث قائم الزاوية في جداول وبرمجت هذه الجداول في الحاسبات العلمية.

وتشتمل الجداول المثلثية أيضاً على ثلاث نسب أخرى أقل استخداماً من النسب السابقة وهي القاطع وقاطع التمام وظل التمام. فقاطع الزاوية أ هو ص/ع ويكتب قا أ، وقاطع تمام الزاوية أ هو ع/س ويكتب قتا أ، وظل تمام الزاوية أ هوع/س ويكتب ظتا أ.

وفيما يلي التعاريف الرسمية للنسب المثلثية الست :


جيـــب الـزاوية = طول الضلع المقابل للزاوية / طول الوتر

جيب تمام الزاوية = طول الضلع المجاور للزاوية / طول الوتر

ظــــــل الزاويــة =طول الضلع المقابل للزاوية /طول الضلع المجاور للزاوية

قاطـــع الزاويـــة =طول الوتر/طول الضلع المجاور للزاوية

قاطـع تمام الزاوية =طول الوتر/طول الضلع المقابل للزاوية

ظـل تمــام الزاوية =طول الضلع المجاور للزاوية /طول الضلع المقابل للزاوية