الرموز في الجبر. يدل الرمز + على عملية الجمع، غير أنه في الجبر أيضاً يعني العدد الموجب. أما الرمز - فيدل على الطرح والعدد السالب. وقد جرت العادة على استخدام الرمز (.) ليدل على عملية الضرب بدلا من × فنكتب حاصل ضرب أ و ب على الصورة، أ. ب، أو أحيانا أ ب، أو ( أ) (ب). (لاحظ أن كلا من 3. 6 و (3) (6) تعني أن العدد 3 مضروب بالعدد 6 ولكن 63 لايزال يعني العدد 63 كما في الحساب). ويُستخدم الرمز - ليدل على عملية القسمة كما هو الحال في الحساب.

ونستخدم القوسين ( )، والحاصرتين { } والمعقوفتين [ ] لحصر المقادير والأعداد. وتعرف جميعاً باسم إشارات التكديس لأننا نعامل كل ماهو محصور داخلها كمقدار واحد. وغالباً ما يكون من المهم تبسيط المقدار المحصور قبل أن نستخدمه في أجزاء أخرى من المسألة. لنتأمل المثال التالي من الأعداد.

[12 + { 4 + 5 - (5 - 3) + 4} - 4]

نبسِّط أولاً (5 - 3):

[12 + { 4 + 5 - 2 + 4} - 4]

ثم نبسط { 4 + 5 -2 + 4}:

[12 + 11 -4] = 19

بالطريقة نفسها نبسِّط الصيغ التي تحتوي على متغيرات كما في المثال التالي:

[5 س + 6س + }5 س - س + (3س + 4س){ - س]

نبسِّط أولا: }3 س + 4 س{:

[5 س + 6س + }5س - س + 7س{ -س]

ثم نبسط }5س - س + 7س{:

[5س + 6س + 11س - س] = 21س

وفي بعض الأحيان يكون من الأسهل التخلص من الأقواس التي تحصر مقداراً جبريًا دون تبسيطه. ويمكن تنفيذ ذلك باستخدام قاعدتي الجمع والطرح على الأعداد ذات الإشارة. على سبيل المثال يمكن كتابة الصيغة.

أ + (ب + جـ) على الصورة أ + ب + جـ

ولتوضيح ذلك نلاحظ أن التعبير 40 + (8 - 2) يعني أن العدد 8 - 2 أو 6 مضاف إلى العدد 40، أو 40 + 6. وبإسقاط الأقواس يكون 40، + 8 - 2 أو 48 - 2 مساوياً للصيغة المبسطة 40 + 6. إذا وجد أمام مقدار جبري بين قوسين إشارة + فبإمكاننا إزالة القوسين دون أن نغير إشارات المقادير التي بداخلها. على هذا فإن أ + (- ب - جـ) تصبح أ + (- ب) - جـ أو أ - ب - جـ.

أما إذا كان المقدار الجبري بين القوسين مسبوقاً بإشارة - فيجب أن نغير إشارات كل الكميات داخل القوسين بعد إزالتهما. فمثلا التعبير 6 - (-8) يصبح 6 + 8 أو 14 أي أننا نحول مسألة الطرح إلى مسألة جمع. وكمثال آخر: 6 - (+8) يصبح 6 + (-8) أو 6 - 8 = - 2. وإذا كان هنالك أكثر من مقدار بين القوسين فينبغي أن نغير إشارة كل واحد منهما. فمثلا 6 - (-3 + 2) يصبح 6 + 3 - 2 أو 7. وكقاعدة نستطيع أن نكتب أ - ( ب + جـ) بالشكل أ - ب - جـ.

أما إذا أردنا أن نغير إشارات المقادير أو الأعداد فإننا نعكس العملية فنقوم بوضعها داخل قوسين. فمثلاً يمكننا كتابة 8 + 7 على الصورة - (-8-7). و 8 + 4 - 6 على الصورة 8 - (-4 + 6).


القوانين الأساسية. هناك خمس قوانين أساسية في الجبر تحكم عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. ويعبَّر عنها باستخدام متغيرات يمكن التعويض عنها بأي عدد كان. وهذه القوانين هي:

1- الخاصية الإبدالية للجمع. وتكتب س + ص = ص + س. وتعني أن الترتيب غير مهم عند جمع عددين إذ إن النتيجة واحدة. فمثلاً 2 + 3 = 3 + 2 و (-8) + (- 36) = (-36) + (-8).

2- الخاصية التجميعية للجمع. وتكتب س + (ص + ع ) = (س + ص) + ع، وتعني أنه عند جمع ثلاثة أعداد أو أكثر، فإنه يمكن جمع أي تشكيل منها أولاً، ثم إكمال الجمع دون أن يتأثر الناتج النهائي، فمثلا 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 أو 2 + 7 = 5 + 4.

3- الخاصية الإبدالية للضرب. وتكتب س ص = ص س. وتعني أن الترتيب غير مهم عند ضرب عددين إذ إن النتيجة واحدة. فمثلاً (2) (3) = (3) (2) و (-8) (- 36) = (-36) (-8) .

4- الخاصية التجميعية للضرب. وتكتب س (ص ع) = (س ص) ع. وتعني أنه عند ضرب ثلاثة أعداد أو أكثر فإنه يمكن ضرب أي تشكيل منها أولا، ثم إكمال الضرب دون أن يتأثر الناتج النهائي. فمثلا 2 (3 × 4) = (2 × 3) 4 أو 2 (12) = (6) 4.

5- خاصية توزيع الضرب على الجمع. وتكتب:

س (ص+ع) = س ص + س ع.

نوضح هذه الخاصية المهمة في الجبر بالمثال التالي:

3 (4+ 5) = (3 × 4) + (3 × 5). إن حاصل ضرب عدد في مجموع عددين مثل 3 (4 + 5) أو 3 × 9 يساوي مجموع حاصل ضرب العدد بأحد العددين وحاصل ضرب العدد بالعدد الثاني. لاحظ أن:

3 (4 + 5) = 3 (9) = 27 وكذلك.

(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27.