لعل أبسط المتسلسلات اللانهائية هي المتسلسلة الهندسية التي تقل نسبتها المشتركة عن1. فمثلا المتسلسلة الهندسية التالية نسبتها المشتركة = 1/2

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16

كيف نجد مجموع هذه المتسلسلة التي تحتوي على عدد غير منته من الحدود؟ نستطيع أن نبدأ بوضع جدول يبين لنا مجموع أول ثلاثة حدود، ومجموع أول أربعة حدود، وهلم جرا.

عدد الحدود الحد الأخير مجموع ن من الحدود
1 1 1
2 1/2 1/2 1
3 1/4 3/4 1
4 1/8 7/8 1
10 1/512 511/512 1



من الجدول أعلاه يتبين لنا أن المجموع يقترب من العدد 2كلما أضفنا حدوداً أكثر. وإذا أضفنا عدداً كافياً من الحدود، نستطيع أن نجعل المجموع يقترب أكثر فأكثر من العدد 2. ولكن لايمكن للمجموع أن يصل إلى العدد 2. ويسمى العدد2 في هذه الحالة نهاية مجموع ن من الحدود عندما يتزايد ن بدون حد. ويمكن أن نعبر عن ذلك باستخدام الرموز كالتالي:





الرمز يبين لنا أن الحدود تتزايد دون حد. وتسمى النهاية مجموع المتسلسلة.

من الممكن أيضاً أن نستخدم قوانين رياضية للبرهان على أن مجموع هذه المتسلسلة يساوي 2. وقانون مجموع ن من حدود أية متوالية هندسية هو:





حيث أ هو الحد الأول من المتسلسلة، ر هو النسبة المشتركة، ن عدد الحدود. من الممكن أن نكتب القانون السابق على النحو التالي:





خذ الحد الثاني من المعادلة أعلاه إذا كان ر عددًا أقل من 1 وسمحنا للعدد ن أن يتزايد بدون حد، فإن رن يقترب من الصفر، ومن ثم فإن نهاية الحد الثاني من الطرف الأيسر تساوي صفراً ¸تستطيع التحقق من ذلك بأخذ ر عددا أقل من 1 وإيجاد قيم ر لبعض قيم ن·

بما أن





فإن





عند أ =1 و ر = 1/2 كما في المثال فإن:






وهذه هي القيمة نفسها التي توصلنا إليها باستخدام الجداول.

إذا وجدت نهاية لمجموع متسلسلة عندما يتزايد عدد حدودها بدون حد، فإنها تُسمى متسلسلة متقاربة، وإذا لم تكن متقاربة فإنها تُسمى متباعدة. وعلى الرغم من أن علماء الرياضيات استطاعوا أن يبرهنوا على تقارب عدد كبير من المتسلسلات، فإنه من الصعوبة بمكان (وأحياناً من المستحيل) إيجاد مجموع متسلسلة متقاربة. وفي هذه الحالة، نجد مجموع المتسلسلة بصورة تقريبية. تمكن علماء الرياضيات ـ باستخدام طريقة التقريب هذه ـ أن يجدوا قيم الدوال المثلثية، واللوغاريتمات، وكذلك قيمة بعض الثوابت المهمة مثل ط,e (حيث e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي).

ويعتبر عالم الرياضيات الأسكتلندي جيمس جريجوري الذي عاش في الفترة 1638ـ 1675م من أوائل من وجدوا القيمة التقريبية للعدد ط مستخدماً المتسلسلة الآتية:


ط =4(1- 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ....)


وتشكل حدود هذه المتسلسلة ما يطلق عليه اسم المتوالية التوافـقية. والواقع أن متسلسلة جريجوري بطيئة التقارب، أي إننا نحتاج جمع عدد كبير جدًا من الحدود لكي نحسن الدقة قليلاً.وفي العصر الحاضر، يستخدم علماء الرياضيات متسلسلات سريعة التقارب للقيمة ط (باي)، والقيمة التالية تزودنا بقيمة تقريبية للعدد ط مقربًا إلى 20 منزلة عشرية:

ط =3,14159265358979323846.

وباستطاعة علماء الرياضيات اليوم، باستخدام متسلسلات سريعة التقارب وبمساعدة الحاسوب، أن يجدوا قيمة تقريبية للعدد ط مقرباً إلى أكثر من 10IMG,000 منزلة عشرية.